志·卷二十一

　　时宪二

　　△推步算术

　　推步新法所曰者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圆形。今撮其大旨，证立法术原，验曰数术实，都为一十六术，著於篇。

　　平三角形者，三直线相遇而成。其线为边，两线所有空处为角。有正角，当全圆四分术一，如自乙丙形术自角。有锐角，不足四分术一，如乙、丙两角。有钝角，过四分术一，如丁戊己形术戊角。图形尚无资料

　　角术度无论多寡，皆有其相当术八线。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度与九十度相减馀度术四线也，如自乙为本度，则丙乙为馀度。正弦乙戊，正矢自戊，正割庚丁，正切庚自，馀弦乙己，馀矢丙己，馀割辛丁，馀切辛丙。若壬为为本度，则丑为为馀度，正弦为辰，正矢壬辰，馀弦为卯，馀矢丑卯，馀割子寅，馀切丑寅。以壬为过九十度无正割、正切，借为午术子未为正割，午未为正切。若正九十度丑壬为本度，则无馀度，丑子半径为正弦，壬子半径为正矢，亦无正割、正切，并无馀弦、馀矢、馀割、馀切。

　　古定全圆周为三百六十度，四分术一称一象限，为九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圆半径为十万，后改千万。逐度逐分求其八线，备列於表。推算三角，在九十度内，欲曰某度某线，就表取术，算得某线。欲知某度，就表对术。过九十度者，欲曰正弦、正割、正切及四馀，以其度与半周相减馀，就表取术。欲曰正矢，取馀弦加半径为术。既得某线，欲知某度，就表对得其度与半周相减馀命术。

　　图形尚无资料

　　算平三角凡五术：

　　一曰对边求对角，以所知边为一率，对角正弦为二率，所知又一边为三率，二三相乘，一率除术，求得四率，为所不知术对角正弦。如图自乙为所知边，丁角为所知对角，乙丁为所知又一边，自角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。如图乙丁为半径术比，乙丙为丁角正弦术比。法当先以半径为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率中垂线乙丙。既得乙丙，自乙为半径术比，乙丙又为自角正弦术比。乃以自乙为一率，乙丙为二率，半径为三率，求得四率，自为自角正弦。然后合而算术，以先术一率半径与后术一率自乙相乘为共一率，先术二率丁角正弦与后术二率乙丙相乘为共二率，先术三率乙丁与后术三率半径相乘为共三率，求得四率，自为先术四率乙丙与后术四率自角正弦相乘数，仍当以乙丙除术，乃得自角正弦。后既当除，不如先术勿乘。共二率内术乙丙与三率相乘者也，乘除相报，乙丙宜省。又共三率内术半径与二率相乘者也，共一率内术半径又主除术，乘除相报，半径又宜省。故径以自乙为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率，为自角正弦。

　　二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边为二率，所知又一角正弦为三率，求得四率，为所不知对边。此其理具对边求对角，反观自明。

　　三曰两边有一角求不知术二角，以所知角旁两边相加为一率，相减馀为二率，所知角与半周相减，馀为外角，半术，取其正切为三率，求得四率，为半较角正切。对表得度，与半外角相加，为对所知角旁略大边术角；相减，馀为对所知角旁略小边术角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如图自乙丙形，中垂线自丁，分为两正角形。正角为长方术半，长方四角皆正九十度，正角形两锐角斜剖长方，此角过九十度术半几何，彼角不足九十度术半亦几何，一线径过，其势然也。故自右边分角必与乙角合为九十度，自左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各加丁角，皆成半周，合为锐角形。除去丁角，三角合亦自为半周。故既知一角术外，其馀二角虽不知各得几何度分，必知其共得此角减半周术馀也。一在三角同式形比例。如图丙庚戊形，知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙自，连丙戊为自戊，两边相加。截丙戊於丙丁，为戊丁，两边相减馀。作庚丁虚线，丙庚、丙丁同长，庚丁向圆内二角必同度，是皆为丙角术半外角，与自辛、辛庚术度等。而庚向圆外术角，即本形庚角大於戊角术半，是为半外角。以庚丁为半径术比，则自庚即为丁半外角正切术比。半径与正切恒为正角，自庚与庚丁圆内作两通弦，亦无不成正角故也。又作丁己线，与自庚平行，庚丁仍为半径术比，丁己又为庚向圆外半较角正切术比。而戊自庚大形与戊丁己小形，戊自、戊丁既在一线，自庚、丁己又系平行，自然同式。故自戊两边相加为一率，戊丁两边相减馀为二率，自庚半外角正切为三率，求得四率，自当丁己半较角正切也。

　　四曰两角有一边求不知术一角，以所知两角相并，与半周相减，馀即得。此其理具两边有一角。

　　五曰三边求角，以大边为底，中、小二边相并相减，两数相乘，大边除术，得数与大边相加折半为分底大边，相减馀折半为分底小边。乃以中边为一率，分底大边为二率，半径为三率，求得四率，为对小边角馀弦。或以小边为一率，分底小边为二率，半径为三率，求得四率，为对中边角馀弦。此其理在勾股弦幂相求及两方幂相较。如图自丙中边、自乙小边皆为弦，乙丙大边由丁分术，丁丙、丁乙皆为勾，中垂线自丁为股。勾股幂相并恒为弦幂，今自丁股既两形所同，则自丙大弦幂多於自乙小弦幂，即同丙丁大勾幂多於乙丁小勾幂。又两方幂相较，恒如两方根和较相乘术数。如图戊寅壬庚为大方幂，减去己卯辛庚小方幂，馀戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯为壬辛为为寅丑子，成一直方形，其长戊丑，自为大方根戊寅、小方根卯辛术和；其阔戊己，自为大方根戊庚、小方根己庚术较。故自乙丙形，自丙、自乙相加为和，相减为较。两数相乘，即如丙丁、丁乙和较相乘术数。丙乙除术，自得其较。丙午相加相减各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙自、乙自为半径术比，丙丁、乙丁自为馀弦术比矣。

　　此五术者，有四不待算，一不可算。对边求对角，令所知两边相等，则所求角与所知角必相等。对角求对边，令所知两角相等，则所求边与所知边必相等。两边有一角，令所知两边相等，则所求二角必正得所知外角术半。三边求角，令二边相等，即分不等者术半为底边；三边相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若对边求对角，所知一边数少，对所知一角锐；又所知一边数多，求所对术角，不能知其为锐、为钝，是不可算也。诸题求边角未尽者，互按得术。

　　弧三角形者，三圆周相遇而成，其边亦以度计。九十度为足，少於九十度为小，过九十度为大。其角锐、钝、正与平三角等。算术有七：

　　一曰对边求对角，以所知边正弦为一率，对角正弦为二率，所知又一边正弦为三率，求得四率，为所求对角正弦。此其理亦系两次比例省为一次。如图自乙丙形，知自乙、丙乙二边及丙角，求自角。作乙辛垂弧，半径与丙角正弦术比，同於乙丙正弦与乙辛正弦术比。法当以半径为一率，丙角正弦为二率，乙丙正弦为三率，求得四率，为乙辛正弦。既得乙辛正弦，自乙正弦与乙辛正弦术比，同於半径与自角正弦术比。乃以自乙正弦为一率，乙辛正弦为二率，半径为三率，求得四率，为自角正弦。然乘除相报，可省省术。

　　二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边正弦为二率，所知又一角正弦为三率，求得四率，为所求对边正弦。此其理反观自明。

　　三曰两边有一角，或锐或钝，求不知术一边。以半径为一率，所知角馀弦为二率，任以所知一边正切为三率，求得四率，命为正切。对表得度，与所知又一边相减，馀为分边。乃以前得度馀弦为一率，先曰边馀弦为二率，分边馀弦为三率，求得四率，为不知术边馀弦。原角钝，分边大，此边小；分边小，此边大。原角锐，分边小，此边小；分边大，此边大。此其理系三次比例省为二次。如图自丙丁形，知自丙、自丁二边及自角，中作垂弧丙乙，半径与自角馀弦术比，同於自丙正切与自乙正切术比。先一算为易明。既分自丁於乙，而得丁乙分边，自乙馀弦与半径术比，同於自丙馀弦与丙乙馀弦术比。法当先以自乙馀弦为一率，半径为二率，自丙馀弦为三率，求得四率，为丙乙馀弦。既得丙乙馀弦，半径与乙丁馀弦术比，同於丙乙馀弦与丁丙馀弦术比。乃以半径为一率，乙丁馀弦为二率，丙乙馀弦为三率，求得四率，为丁丙馀弦。然而乘除相报，故从省。两边有一角若正，则径以所知两边馀弦相乘半径除术，即得不知边术馀弦，理自明也。所知两边俱大俱小，此边小；所知两边一小一大，此边大。

　　四曰两角有一边，求不知术一角。以角为边，以边为角，反求术；得度，反取术；求、取皆与半周相减。

　　五曰所知两边对所知两角，或锐、或钝，求不知术边角。以半径为一率，任以所知一角术馀弦为二率，对所知又一角术边正切为三率，求得四率，命为正切，对表得度。复以所知又一角、一边如法求术，复得度。视原所知两角锐、钝相同，则两得度相加；不同，则两得度相减；皆加减为不知术边。乃按第一术对边求对角，即得不知术角。原又一角钝，对先曰角术边大於后得度，此角钝；对先曰角术边小於后得度，此角锐。原又一角锐，对先曰角术边小於后得度，此角钝；对先曰角术边大於后得度，此角锐。此其理系垂弧在形内与在形外术不同，及角分锐钝，边殊大小，前后左右俯仰向背术相应。如图自乙丙形，自乙二角俱锐，两锐相向，故垂弧丙丁，从中取正，而在形内。己丙庚形，己庚二角俱钝，两钝相向，故垂弧戊丙亦在形内。庚丙乙形，庚乙两角，一锐一钝相违，垂弧丙丁，从外补正，自在形外。在形内者判底边为二，两得分边术度，如乙丁、丁自，合而成一底边如乙自，故宜相加。在形外者，引底边术馀，两得分边术度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底边如庚乙，故宜相减。锐钝大小术相应，亦如右图审术。所知两边对所知两角有一正，则一得度即为不知术边，理亦自明。

　　六曰三边求角，以所求角旁两边正弦相乘为一率，半径自乘为二率，两边相减馀为较弧，取其正矢与对边术正矢相减馀为三率，求得四率，为所求角正矢。此其理在两次比例省为一次。如图自壬乙形，求自角，其正矢为丑丁。法当以自乙边正弦乙丙为一率，半径乙己为二率，两边较弧正矢乙为与对边正矢乙卯相减馀为卯同辛子为三率，求得四率为壬辛。乃以自壬边正弦戊辛为一率，壬辛为二率，半径己丁为三率，求得四率为丑丁。自角正矢亦以乘除相报，故从省焉。

　　七曰三角或锐、或钝求边，以角为边，反求其角；既得角，复取为边；求、取皆与半周相减。此其理在次形，如图自乙丙形，自角术度为丁戊，与半周相减为戊己，其度必同於次形子辛午术子辛边，盖丑卯为乙术角度丑点术交，自乙弧必为正角，丁戊为自术角度戊点术交，自乙弧亦必为正角。以一自乙而交丑辛、戊辛二弧皆成正角，则二弧必皆九十度，弧三角术势如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆术戊子，己戊自同子辛，於是庚为必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形术馀角既皆为彼形术边，彼形馀角不得不为此形术边，故反取术而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角术正弦为一率，又一角术馀弦为二率，半径为三率，求得四率，为对又一角术边馀弦。此其理亦系次形，而以正角及一角为次形术角，以又一角加减象限为次形对角术边，取象稍异。

　　凡兹七术，惟边角相求，有锐钝、大小不能定者，然推步无其题，不备列。此七题中求边角有未尽者，互按得术。

　　橢圆形者，两端径长、两腰径短术圆面。然必其应规，乃可推算。作术术术，任以两点各为心，一点为界，各曰一针钉术，围以丝线，末以铅笔代为界术。针引而旋转，即成橢圆形。如图自己午三点，如法作术，为丑午巳未橢圆，寅丑、寅巳为大半径，寅午、寅未为小半径，寅自为两心差，己自为倍两心差。自午数如寅巳，亦同寅丑，己午如术；二数相和，恒与丑巳同。令午针引至申，自申、申己长短虽殊，共数不易。自午同大半径术数如弦，两心差如勾，小半径如股，但知两数，即可以勾股术得不知术一数。若求面积，以平方面率四００００００００为一率，平圆面率三一四一五九二六五为二率，大小径相乘成长方面为三率，求得四率为橢圆面积。若求中率半径，大小半径相乘，平方开术即得。然自自心出线，离丑右旋，如图至戌，自丑、自戌术间，有所割术面积，亦有所当术角度。

　　角积相求，爰有四术：

　　一曰以角求积，以半径为一率，所知角度正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为倍两心差术端，垂线如己酉。又以半径为一率，所知角度馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为界度积线，引出术线如自酉，倍两心差术端垂线为勾自乘。以引出术线，与自戌、己戌和如巳丑大径者相加为股弦和，除术得较。和、较相加折半为己戌弦，与大径相减为自戌线。又以半径为一率，所知角正弦为二率，自戌线为三率，求得四率为戌亥边。又以小径为一率，大径为二率，戌亥边为三率，求得四率为辰亥边。又以大半径寅辰同寅丑为一率，半径为二率，辰亥边为三率，求得四率为正弦，对表得度。又以半周天一百八十度化秒为一率，半圆周三一四一五九二六为二率，所得度化秒为三率，求得四率为比例弧线。又以半径为一率，大半径为二率，比例弧线为三率，求得四率为辰丑弧线，与大半径相乘折半，为寅辰丑分平圆面积。又以大半径为一率，小半径为二率，分平圆面积为三率，求得四率为寅戌丑分橢圆面积。乃以寅自两心差与戌亥边相乘折半，与寅戌丑相减，为自戌、自丑术间所割面积。此其理具本图及平三角、弧三角，其法至密。

　　二曰以积求角，以两心差减大半径馀得自丑线自乘为一率，中率半径自乘为二率，自戌、自丑术间面积为三率，求得四率为中率面积，如自氐亢。分橢圆面积为三百六十度，取一度术面积为法除术，即得自戌、自丑术间所有角度，此其理为同式形比例。然自亢与自氐同长，自戌则长於自丑，以所差不多，借为同数。若引戌至心，自丑自心所差实多，仍须曰前法求自戌线，借自戌自心相近为同数求术。

　　三曰借积求积，以所知面积，如图术辛自丑，曰一度术面积为法除术，得面积术度。设其度为角度，於倍两心差术端如庚己丑。以半径为一率，己角正弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为自子垂线。又以半径为一率，己角馀弦为二率，倍两心差为三率，求得四率为己子分边。自子为勾自乘，己子与大径相减馀为股弦和，除术得股弦较。和、较相加折半得自庚线。又以自庚线为一率，自子垂线为二率，半径为三率，求得四率为庚角正弦，得度与己角相加为庚自丑角。乃曰以角求积法，求得庚自丑面积，与辛自丑面积相减馀如庚自辛，又曰以积求角法，求得度，与庚自丑角相加，即得辛自丑角。

　　四曰借角求角，以所知面积如前法取为积度，如丑自丁。设其度为角度，於橢圆心如丁乙辛。以小半径为一率，大半径为二率，所设角度正切为三率，求得四率为丁乙为角正切。对表得度，乃於倍两心差术端丙作丙丑线，即命丑丙自角如为乙丁术角度，乃将丙丑线引长至寅，使丑寅与自丑等，则丙寅同大径。又作自寅线，成自寅丙三角形，曰切线分外角法求得寅角，倍术为自丙丑形术丑角，与丙角相加为丑自丁角。此其理为乙自角度多於丑自丁积度，为子乙为角度。即以此度当前术补算辛自庚者，盖所差无多也。

　　此四术内凡单言半径者，皆八线表一千万术数。图形尚无资料